1.引言

以前我们讨论的概率模型都是只含观测变量(observable variable), 即这些变量都是可以观测出来的，那么给定数据，可以直接使用极大似然估计的方法或者贝叶斯估计的方法；但是当模型含有隐变量(latent variable)的时候, 就不能简单地使用这些估计方法。

如在中讨论的高斯混合就是典型的含有隐变量的例子，已经给出EM算法在高斯混合模型中的运用，下面我们来讨论一些原理性的东西。

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2.Jensen 不等式

令是值域为实数的函数，那么如果，则就是一个凸函数，如果自变量 x 是向量, 那么当函数的海森矩阵 是半正定时(), 是凸函数，这是函数为凸函数的条件在向量输入时的泛化。

如果，则称是严格凸函数，对应的向量输入时的泛化是.

定理  令是一个凸函数，令是一个随机变量，那么

当时严格凸函数的时，当且仅当 以概率 1 成立的时，. 即当时常量时，上面不等式的等号成立。

注意上面 E 是表示期望的意思，习惯上，在写变量期望的时候，会把紧跟括号略去，即.

用下面的图对上面的定理作一个解释：

这个图中的实线代表凸函数, 随机变量有 0.5 的概率取 a, 同样以 0.5 的概率取 b, 所以的期望位于a,b的正中间，即a,b的均值.

从图中可以看出，在 y 轴上, 位于之间，因为是凸函数，则必如上图所示，

所以很多情况下，许多人并去记忆这个不等式，而是记住上面的图，这样更容易理解。

注意：如果是（严格）凹函数，即使（严格）凸函数（即，），那么Jensen不等式照样成立，只不过不等号方向相反：

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3.EM算法

假设在一个估计问题中有m个独立样本，根据这些数据，希望拟合出模型的参数，那么对数似然函数：

这里，是隐变量，如果能够被观测出来，最大似然估计就会变得很容易，但是现在观测不出来，是隐变量。

在这种情况下，EM算法给出了一种很有效的最大似然估计的方法：重复地构造的下界（E步），然后最大化这个下界（M步）。

 

对于每个，令表示隐变量的分布，即，考虑：

由（2）到（3）的推导用到了上面的Jensen不等式，此时是一个凹函数，因为，考虑上面关于的分布，

正好是数量的期望，由Jensen不等式可以得到：

由此可以从（2）推出（3）.

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但是由于隐变量的存在，直接最大化很困难！试想如果能让直接与它的下界相等，那么任何可以使的下界增大的，也可以使增大，所以自然就是选择出使的下界达到极大的参数.

怎么样才能使得取得下界呢，即上面不等式取等号，关键在于隐变量如何处理，下面就此讨论。

现在，对于任意的分布，（3）给出了似然函数的下界. 对于分布到底是什么分布，可以有很多种选择，到底该选择哪一种呢？

 

在上面讨论Jensen不等式的时候可以看出，不等式中等号成立的条件是随机变量变成“常量”，对于要想取得下界值，必须要求

其中常数 c 与变量 无关，这很容易做到，我们选择分布的时候，满足下面的条件即可：

由于，于是我们可以知道：

注意理解上面这个等式式子是如何得出来的！！

于是就可以把分布设定为：在参数下，给定后，的后验分布。

这样设定好隐变量的分布之后，就直接取其下界，原来最大化似然函数的问题转换为最大化其下界，这就是E步！

在M步中，就是去调整参数最大化上面提到的式子（3）.

不断重复E步和M步就是EM算法：

重复迭代直至收敛{

　　

}

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我们如何知道算法收敛呢？

假如和是两次连续迭代后的参数,需要证明.

正如上面所述，由于我们再选择分布时，选择：，于是：

参数就是通过极大化上面右边的式子得出，因此：

注意第不等式（4）来自于：

 

这个式子对于任意的和都成立，当然对于和也成立。对于不等式（5），因为是通过如下极大化过程选出来的：

所以在处，式子的值要比在处式子的值要大！

式子（6）是通过上面讨论过的方法选择出合适的使得Jensen不等式取等号！

因此，EM算法使得似然函数单调收敛。在上面描述EM算法的时候，说是“重复迭代直至收敛”，一个常用的检查收敛的方法是：如果两次连续迭代之后，似然函数的值变化很小（在某个可容忍的范围内），就EM算法中的变化已经很慢，可以停止迭代了。

 

注意：如果定义：

从之前的推导，我们知道. EM算法看作是关于函数 J 的梯度上升：E步是关于参数Q，M步是关于参数.

 

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4.高斯混合的修正

在  中，我们将EM算法用于优化求解高斯混合模型，拟合参数和.

E步：

这里表示的是在分布下，取的概率。

M步：考虑参数，最大化数值：

 

最大化求，对上面的式子关于求偏导数：

令这个偏导数为0，求出的更新方式：

这是在  中已经得出的结论。

再考虑如何更新参数,把只与有关的项写出来，发现只需要最大化：

因为，，所有的和为1，所以这是一个约束优化问题，参考，构造拉格朗日函数：

 

其中 β 是拉格朗日乘子. 求偏导数：

令偏导数为0，得到：

即：利用约束条件：，得到：(注意这里用到：).

于是可以得到参数的更新规则：

关于参数的更新规则，以及整个EM算法如何运用到高斯混合模型的优化，请参考：！

5.总结

所谓EM算法就是在含有隐变量的时候，把隐变量的分布设定为一个以观测变量为前提条件的后验分布，使得参数的似然函数与其下界相等，通过极大化这个下界来极大化似然函数，从避免直接极大化似然函数过程中因为隐变量未知而带来的困难！EM算法主要是两步,E步选择出合适的隐变量分布（一个以观测变量为前提条件的后验分布），使得参数的似然函数与其下界相等；M步：极大化似然函数的下界，拟合出参数.